Üç fazlı devrelerde faz gerilimi ve fazlar arası gerilim konusu, bilgi tazelemek amacıyla bu yazıda detaylandırılmıştır. İşlemler sırasında ağırlıklı olarak vektörlerin analitik yöntemle toplanıp çıkarılması kullanılmıştır. Anlatımda sade ve temel yaklaşım tercih edilmiştir.
Üç ayrı gerilim, jeneratör sargılarında 120 derece faz farkı ile oluşur. Şekil 1’de yıldız bağlı bir sistemde fazlar arası gerilimin elde edilmesi gösterilmektedir. Faz gerilimi RMS değerdir. Bazı kaynaklarda R–S–T yerine İngilizce renk ifadeleri olan R–Y–B (red–yellow–blue) kullanılmaktadır.
Açıklama: Bu bölümde üç fazlı dengeli bir sistemin temel varsayımları tanımlanmaktadır.
Faz-Nötr ve Fazlar Arası Gerilimlerin Vektörel Olarak Bulunması
 |
| Şekil 1. Faz-nötr ve faz-faz gerilim |
\({V_{RS}}\)
fazlar arası gerilim yani faz-faz gerilimdir. Fazlar arası gerilimi bulmak için R fazındaki faz-nötr arası gerilimden S fazı faz-nötr gerilimi vektörel olarak çıkarılacaktır.
Vektör çıkarma işleminde yön
\({V_{SN}}\) 'den \({V_{RN}}\) 'ye doğru olur.
Vektör çıkarma işlemi, çıkarılan vektörün yönü ters çevrilerek vektörel toplama şeklinde yapılabilir.
Açıklama: Fazlar arası gerilim, faz-nötr gerilimlerin cebirsel farkı değil, vektörel farkıdır.
Basit vektör çıkarma işlemi Şekil 2'deki gibidir.
Şekil 2. Vektörlerde toplama ve çıkarma
Analitik Yöntemle Vektörlerin Bileşenlerine Ayrılması
Analitik yöntemle vektör toplayıp çıkararak faz-faz gerilimleri bulunabilir.
Şekil 3. R ve S fazı bileşenler
\({V_{SN}}\) gerilim vektörü ile \({V_{RN}}\) gerilim vektörü arasında 120 derece vardır.
\({V_{RN}}\) vektörünün x ekseni ile yaptığı açı 90 derecedir.
\({V_{SN}}\) 'nin x ekseni ile yaptığı açı 120 derecenin 90 dereceden çıkarılması ile bulunur. Saat yönünün tersi alınarak trigonometrik işlemlerde kullanmak üzere \(- 30^\circ\) yazılabilir.
Açıklama: Açılar, trigonometrik işlemlerde standart Kartezyen eksen sistemine göre tanımlanmıştır.
Analitik yöntemle vektör çıkararak
\({V_{RS}}\) vektörünü bulmak için vektörlerin x ve y eksenindeki bileşenlerine bakılacaktır (Şekil 3).
S Fazı Bileşenleri
\({V_{SN}}\) vektörünün x ve y ekseni bileşenleri:
\({V_S}_{N_x} = {V_S}_N.\cos ( - 30)\)
\({V_S}_{Ny} = {V_S}_N.\sin ( - 30)\)
R Fazı Bileşenleri
\({V_R}_N\) vektörünün x ve y eksenindeki bileşenleri:
\({V_{RNx}} = {V_R}_N.\cos 90 = 0\)
\({V_{RNy}} = {V_{RN}}.\sin 90 = {V_R}\)
Fazlar Arası Gerilimin Analitik Olarak Hesaplanması
Şekil 4. Faz-faz gerilimi elde etme
Vektörlerde çıkarma işlemi çıkarılan vektörün yönü değiştirilerek iki vektörün toplanması şeklinde yapılabilmektedir. Burada
\({V_S}_N\) vektörünün yönü değiştirilir ve \({V_{RS}} = {V_{RN}} + ( - {V_S}_N)\)
şeklinde yazılabilir.
\({V_S}_{N_x}\) ve \({V_S}_{Ny}\) vektörleri de bileşenler olduğundan yön değiştirerek \(- {V_S}_{N_x}\) ve \(- {V_S}_{Ny}\) olur.
Negatif işaret yön değişmesini ifade eder. Eksenlerin pozitif ve negatif tarafına göre vektörler toplanır ya da çıkarılır.
Bileşke vektörün yani \({V_{RS}}\) vektörünün bulunması için x ve y eksenindeki bileşenleri gereklidir.
Şekil 4'te \({V_{RS}}\) vektörünün bileşenleri
\({V_{RSx}} = {V_{RNx}} - {V_{SNx}} = 0 - {V_{SNx}}\)
\({V_{RSy}} = {V_{RNy}} - {V_{SNy}} = {V_{RN}} - {V_{SNy}}\)
Sin(-30)'un negatif değer almasıyla \({V_{SNy}}\) negatif değer alır ve y ekseninin negatif tarafında kalır. Bu nedenle vektör çıkarma işleminde yön değiştirir ve değeri pozitif değer olur ( iki negatif = pozitif).
Bu nedenle Şekil 4'te gösterildiği gibi \({V_{RNy}}\) vektörü ile toplanır ve bileşke vektör \({V_{RS}}\) 'nin y ekseni bileşeni olur.
Analitik yöntemle açıları bulmak için sistemi dengeli düşünerek gerilim değerlerinin aynı olduğu varsayılırsa;
\({V_{RN}} = {V_{RNy}} = {V_{SN}} = a\) alınabilir.
Fazları Arası Gerilim Açısının Bulunması
Faz-faz gerilimi olan \({V_{RS}}\) 'in y ekseni ile yaptığı açıya da \(\theta\) denilirse, arctan ile Şekil 4 baz alınarak açı bulunur.
\(\theta = \arctan \frac{{0 - {V_{SNx}}}}{{{V_{RNy}} - {V_{SNy}}}} = \arctan \frac{{ - a.\cos ( - 30)}}{{a - a.\sin ( - 30)}}\)
\(\theta = \arctan \left[ {\frac{{ - a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{a - (a.\frac{{ - 1}}{2})}}} \right]\)
\(\theta = \arctan ( - \frac{{\sqrt 3 }}{3}) = - 30\)
Açıklama: Bu sonuç, fazlar arası gerilim vektörünün yön açısını göstermektedir.
Geometrik Yöntem (Kosinüs Teoremi)
Geometri kullanarak da faz faz gerilimi hesaplanabilir.
Şekil 5. Geometrik yöntemle faz gerilimi ve faz-faz gerilimi
Kosinüs teoremi kullanılabilir.
\({V_{RS}}^2 = {V_{RN}}^2 + {V_{SN}}^2 - 2{V_{RN}}.{V_{SN}}.\cos (120)\)
\({V_{RS}}^2 = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}. - \frac{1}{2} = 3{a^2}\)
\(a = {V_{RN}} \Rightarrow {V_{RS}} = \sqrt 3 .{V_{RN}}\)
Şekil 6. S ve T fazlar arası gerilimini elde etme
\({V_{ST}}\) gerilimi de benzer şekilde bulunabilir. Daha iyi anlamak adına gerilimler arası farkların aslında,
\({V_{ST}} = {V_{SN}} - {V_{TN}}\)
\({V_{ST}} = {V_S} - {V_N} - ({V_T} - {V_N}) = {V_S} - {V_T}\)
olduğu görülür.
Analitik işlemler için \({V_{TN}}\) vektörünün x ve y bileşenleri:
\({V_{TNx}} = {V_{TN}}.\cos 210 = {V_{TN}}.( - 0,86)\)
\({V_{TNy}} = {V_{TN}}.\sin 210 = {V_{TN}}.( - 0,5)\)
olarak bulunur ve x ve y ekseninin negatif tarafındadır.
Vektörlerde çıkarma işleminde \({V_{TN}}\) çıkarılan vektör olduğundan \({V_{ST}} = {V_{SN}} - {V_{TN}}\) işaret değiştirir. Bu nedenle \( - {V_{TNy}}\) vektörü ile \({V_{SNy}}\) vektörü birbirini götürürken x eksenindeki bileşenler toplanır ve \({V_{ST}}_x\) vektörünü oluşturarak \({V_{ST}}\) vektörünü belirler. Böylece fazlar arası gerilim vektörü pozitif x ekseni üzerinde olur.
\({V_{TR}}\) faz-faz gerilimi de Şekil 7'deki gibi bulunur.
Şekil 7. R ve T fazlar arası gerilimini elde etme
y ekseni ile yapılan 30 derecelik açı aşağıdaki gibi bulunabilir.
\({V_{RN}} = {V_{RNy}} = {V_{TN}} = a\)
\(\theta = \arctan \left[ {\frac{{{V_{TN}}.( - \frac{{\sqrt 3 }}{2})}}{{{V_{TN}}.( - \frac{1}{2}) - {V_{RN}}}}} \right]\)
\(\theta = \arctan \left[ {\frac{{ - a\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{ - a}}{2} - a}}} \right] = 30\)
Açıklama: Geometrik çözüm, analitik yöntemle elde edilen sonucu doğrulamaktadır.
Tüm gerilimler bir arada gösterilirse;
Şekil 8. Faz gerilimleri ve fazlar arası gerilim ( Şekil 1'in elde edilmesi)
Alternatif akımda vektör ifadesi yerine fazör ifadesi büyüklük ve açı belirtmek amacıyla, karmaşık sayı ekseninin eklenmesi ile kullanılır. Vektör ifadesi konuyu basitleştirmek adına kullanılmıştır. Formüllerde sayısal değerler ile karşılaştırma yapılabilir. Örneğin, 220 V faz gerilimi, 220x0,86=189 V ve 220x0,5=110 V bileşen değerleri ile kullanılarak fazlar arası gerilim eklenip çıkarma ile 380 V olarak bulunabilir.
0 Yorumlar